Casio-Taschenrechner CFX-9850G PLUS

Direkte Berechnung von bgamma-Quantilen einer Binomial-Verteilung
( B(n,p)-Verteilung mit den Parametern n und p (n ... positive ganze Zahl, 0 < p < 1) )

Allgemeine Definition:

Die Kennzahl bgamma, 0 < gamma < 1, einer B(n,p)-verteilten Zufallsgröße X heißt Quantil der Ordnung gamma,
wenn die Ungleichung P( X < bgamma ) < gamma < P( X < bgamma ) erfüllt ist.

Die B(n,p)-verteilte Zufallsgröße X besitzt eine diskrete Verteilungsfunktion F(x) (rechtsseitig stetige Treppenfunktion).
Hat die Gleichung gamma = F(x) keine Lösung,
so ist das gesuchte Quantil bgamma diejenige ganze Zahl x, welche die Ungleichung F(x-0) < gamma < F(x) = F(x+0) erfüllt.

Andernfalls (die Gleichung gamma = F(x) hat (mindestens) eine Lösung) ist bgamma nicht eindeutig bestimmt
und das gesuchte Quantil ist (irgend-)eine Lösung der Gleichung gamma = F(x) mit x aus demjenigen Intervall [k, k+1),
in dem die (kumulative) Verteilungsfunktion F(x) gerade auf dem Wert F(x) = gamma verläuft, oder x=k+1.

Während die direkte Berechnung der zgamma-Quantile einer N(my,sigma2)-Normalverteilung im Untermenü Inverse Normal erfolgen kann (im STAT-DIST-NORM-InvN-Menü), ist die direkte Berechnung anderer Quantile nicht vorgesehen.

1. Lösungsweg mit der Wertetabelle der Verteilungsfunktion F(x) (LIST)

Aufgabe: Man bestimme das bgamma-Quantil, gamma = 0,95 , einer B( 6; 0,3 ) - Verteilung.


cfxplus1.gif


{1,2,3,4,5,6} -> List 1
                    Done

Abspeicherung der Werte (0,) 1, 2, ..., n einer B( n; p ) - verteilten Zufallsgröße X in Liste 1 (im RUN-Menü)
Der Wert 0 bleibt unberücksichtigt, um später sofort den Listenindex k als X-Wert identifizieren zu können.

Das List-Kommando findet man im OPTN-LIST-Menü (OPTN-F1-F1). 

Binomial C.D
Data    :List
List    :List1
Numtrial:6
p       :0.3
Execute

Für die Werte in List 1 werden nun die zugehörigen kumulierten (diskreten) Einzelwahrscheinlichkeiten errechnet
(im Menü Binomial C.D).

Aus dem MAIN-MENU gelangt man mittels STAT-DIST-BINM-Bcd in das erwähnte Untermenü. 

Binomial C.D
(0 | 0.1176)
 1 | 0.4201
 2 | 0.7443
 3 | 0.9295
 4 |  0.989
 5 | 0.9992
 6 |      1
                0.989065

Ergebnisliste der Werte der Treppenfunktion, wobei der Listenindex gleichzeitig die Sprungstelle angibt.
In der Sprungstelle x=4 wird das gamma-Niveau durch F(x) erstmalig erreicht und sofort überschritten.

Damit ist das gesuchte Quantil die Kennzahl b0,95 = 4 .

2. Graphische Darstellung der Verteilungsfunktion F(x) (GRAPH)

Die Programmierung einer Treppenfunktion im GRAPH - Menü mittels eines Bcd-Aufrufes ist nicht möglich, da der Bcd-Aufruf kein Funktionsaufruf ist (Aktivierung eines Untermenüs).

Damit kann die mit dem TI-83 mögliche graphische Darstellung mit dem CFX-9850G PLUS nicht in ähnlicher Weise realisiert werden.

3. Beispiel für ein nicht eindeutig bestimmtes Quantil (LIST)

Aufgabe: Man bestimme das bgamma-Quantil, gamma = 0,9375 , einer B( 7; 0,5 ) - Verteilung.

Lösung: Es gilt F(5) = 15/16 = 0,9375 = gamma und folglich erfüllt jede Zahl bgamma mit 5 < bgamma < 6 die oben angegebene allgemeine Definition für ein Quantil der Ordnung gamma. 

{1,2,3,4,5,6,7} -> List 1
                     Done

Abspeicherung der Werte (0,) 1, 2, ..., n einer B( n; p ) - verteilten Zufallsgröße X in Liste 1 (im RUN-Menü)
Der Wert 0 bleibt unberücksichtigt, um später sofort den Listenindex k als X-Wert identifizieren zu können.

Das List-Kommando findet man im OPTN-LIST-Menü (OPTN-F1-F1). 

Binomial C.D
Data    :List
List    :List1
Numtrial:7
p       :0.5
Execute

Für die Werte in List 1 werden nun die zugehörigen kumulierten (diskreten) Einzelwahrscheinlichkeiten errechnet
(im Menü Binomial C.D).

Aus dem MAIN-MENU gelangt man mittels STAT-DIST-BINM-Bcd in das erwähnte Untermenü. 

Binomial C.D
(0 | 7.8E-3)
 1 | 0.0625
 2 | 0.2265
 3 |    0.5
 4 | 0.7734
 5 | 0.9375
 6 | 0.9921
 7 |      1
                 0.9375

Ansicht der erstellten Liste:

In der Sprungstelle x=5 wird das gamma-Niveau durch die Verteilungsfunktion F(x) exakt erreicht.

Damit ist das gesuchte Quantil nicht eindeutig bestimmt.

Als Kennzahl b0,9375 kann somit jeder Zahlenwert aus dem Intervall [5; 6] benutzt werden.

Es gilt also z.B.:

0,7734375 = F(5,0-0) < 0,9375 < F(5,0) = F(5,0+0) = 0,9375000 ;

0,9375000 = F(5,3-0) < 0,9375 < F(5,3) = F(5,3+0) = 0,9375000 oder

0,9375000 = F(6,0-0) < 0,9375 < F(6,0) = F(6,0+0) = 0,9921875 .

Programmvarianten für die Statistik-Taschenrechner TI-83, EL-9600 und ClassPad300 PLUS.

Ludwig Paditz, 04. Juni 1998