Texas-Instruments-Taschenrechner TI- 83

Direkte Berechnung von t_m-Quantilen einer t-Verteilung mit m Freiheitsgraden (Student-Verteilung)

Allgemeine Definition:

Die Kennzahl x_gamma, 0 < gamma < 1, einer Zufallsgröße X heißt Quantil der Ordnung gamma,
wenn die Ungleichung P( X < x_gamma ) < gamma < P( X < x_gamma ) erfüllt ist.
Besitzt die Zufallsgröße X eine stetige (streng monoton wachsende) Verteilungsfunktion F(x),
kann x_gamma aus der Gleichung gamma = F(x_gamma) ermittelt werden.

Während die direkte Berechnung der z_gamma-Quantile einer N(my,sigma²)-Normalverteilung mit dem Funktionsaufruf invNorm(gamma,my,sigma) erfolgen kann (im DISTR-Menü), ist die direkte Berechnung der t_m,gamma-Quantile einer t_m-Verteilung im DISTR-Menü nicht vorgesehen.

1. Lösungsweg mit dem Gleichungslöser (SOLVER)

	Aufruf des Solvers (Gleichungslöser) im MATH-MATH-Menü
	Eingabe einer geeigneten Nullstellengleichung in den EQUATION SOLVER: z.B. gamma = 0,95 und m=10 Freiheitsgrade. Dann lautet die Nullstellengleichung 0=.95-tcdf(-1E99,X,10) oder 0=.45-tcdf(0,X,10) . Der Funktionsaufruf tcdf(a,b,m) im DISTR-Menü berechnet die Intervallwahrscheinlichkeit über dem Intervall [a,b]. Für das gamma-Niveau von 0,95 bedeutet dies eine Intervallwahrscheinlichkeit von 0,45 über dem Restintervall [0,X], wobei X das gesuchte Quantil ist.
	Eingabe eines Startwertes für X, etwa X=1, und Festlegung des Arbeitsintervalls für X, etwa {0,1E99}.
	Nach Start des SOLVERs (SOLVE-Taste) wird das gesuchte t_10;0,95-Quantil berechnet. Ergebnis: t_10;0,95 = 1,8124611022417

2. Lösungsweg über ein fiktives Vertrauensintervall (TInterval)

Das (zweiseitige) Vertrauensintervall für my einer N(my,sigma²)-verteilten Grundgesamtheit wird bei unbekanntem sigma mittels eines t_m-Quantils geschätzt, wenn der Stichprobenumfang n=m+1 beträgt. Geht man nun vom empirischen Mittelwert 0 und der empirischen Standardabweichung (m+1)^1/2 aus, bestehen die Grenzen des Vertrauensintervalls genau aus den Quantilen -t_m,1-alpha/2 und +t_m,1-alpha/2. Hierbei ist 1-alpha das Vertrauensniveau (Konfidenzniveau, C-level). Um ein gewünschtes t_m,gamma-Quantil zu erhalten, ist somit vom C-level gamma-alpha/2=2*gamma-1 auszugehen.
z.B. gamma=0,95 entspricht dem C-level 0,90

	Aufruf des Vertrauensintervalls im STAT-TEST-Menü
	Dateninput (Inpt) mittels der fiktiven Kennzahlen (empirischer Mittelwert, empirische Standardabweichung, Stichprobenumfang), d.h. Inpt: Stats (nicht: Data)
	Nach Calculate erscheint die Ergebnisanzeige mit dem gesuchten Quantil als rechte Intervallgrenze, jedoch sind nur die ersten Kommastellen ablesbar: 1,8125.
	Im VARS-Menü findet man unter Statistics... und TEST den gesuchten Wert bei upper (obere Grenze).

Programmvarianten für die Statistik-Taschenrechner EL-9600 und CFX-9850G PLUS.

3. Lösungsweg: Schnittpunktberechnung im GRAPH-Bildschirm (intersect)

Im Y= - Menü werden die t_m-Verteilungsfunktion Y₀=tcdf(-1E99,X,10) und die horizontale Schnittgerade Y₉=gamma=.95 definiert.
Die X-Koordinate des Schnittpunktes beider Graphen ist das gesuchte x_gamma-Quantil.

	Festlegung des GRAPHIK-Fensters im WINDOW-Bildschirms
	Grafik-Darstellung (mit TRACE, ExprOn im FORMAT-Fenster einstellen) (andere Grafiken sind vorher auszuschalten: siehe Y= - Menü und PlotsOff )
	Ermittlung des Schnittpunktes Aktivierung des intersect-Kommandos im CALC-Menü
	Festlegung der am Schnitt beteiligten Graphen und eines Startpunktes zur Schnittpunktberechnung
	Anzeige des Schnittpunktes im Graphik-Fenster und Anzeige weiterer Kommastellen im Rechenfenster

4. Grafik-Darstellung zum t_m-Quantil der Ordnung gamma (Shade t(a,b,m))

Der unter der Dichtefunktion links von t_m,gamma liegende Flächeninhalt beträgt gamma.

	Aufruf der Graphik zur t_m-Verteilungsdichte im DISTR-DRAW-Menü
	Einstellung des WINDOW und anschließende Grafik-Darstellung (andere Grafiken sind vorher auszuschalten: siehe Y= - Menü und PlotsOff )

Ludwig Paditz, 27. Mai 1998