Texas-Instruments-Taschenrechner TI-
89
Übungsaufgabe F 1.26d
Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Punktmenge aller z, wo gilt
|z-j| > 1 / |z|
(Randkurve als Gleichung vierten Grades (Typ: Cassinische Kurve))
Bildfolge, über PC-Link erzeugt
Aus Gründen der Auflösbarkeit der Kurvengleichung nach dem Realteil wird dieser mit y
(und der Imaginärteil mit x bezeichnet). Damit werden der eigentlich linke und rechte
Kurventeil als untere und obere Funktion y=y(x) dargestellt (die biquadratische Gleichung
( |z-j|*|z| )^2 = 1 ist unschwer nach y auflösbar).
Nach der symbolischen Auflösung der biquadratischen Gleichung werden die vier Teillösungen
im Y= - Menü als y1 bis y4 abgelegt (mit COPY und PASTE in der Entry-Line unter HOME arbeiten).
Die reellen Teilergebnisse y3 und y4 werden aktiviert und gezeichnet,
nachdem vorher das WINDOW-Fenster eingerichtet wurde.
Die grafischen Darstellungen werden im Untermenü GRAPH FORMATS des GRAPH-Bildschirms
(Grids, Label)
und im STYLE-Menü (F6-Taste im Y= - Bildschirm) (Linienstärke) modifiziert.
Schließlich werden die Extrempunkte (oben, sowie links und rechts) ermittelt.
Spiegelt man abschließend die erhaltene (geschlossene) Kurve an der Winkelhalbierenden y=x ,
so erhält man die gesuchte Kurve mit z=x+j*y und die gesuchte Punktmenge liegt außerhalb der
betrachteten Kurve (einschließlich dem Kurvenrand).
Hierbei gilt nun Pmax(0, 0.5*(1+sqrt(5))), Pmin(0, 0.5*(1-sqrt(5))),
Plinks(-0.5*sqrt(3), 0.5)
und Prechts(0.5*sqrt(3), 0.5).
Das zuletzt dargestellte Bild wurde ohne Variablenvertauschung und abschließende Spiegelung
erhalten und zwar wie folgt:
Die Ausgangsgleichung ( | x + j * y - j | * | x + j * y | )2 = 1 wird als
biquadratische Gleichung
nach x = +x(y) oder x = -x(y) aufgelöst (zwei reelle Wurzeln) und
anschließend in einer geeigneten
Parameterdarstellung verwendet, in der y = y(t) = t und x = k * x(y(t)) gesetzt wird:
Über den Scharparameter k = +1 oder k = -1 entsteht die Gesamtkurve sofort aus zwei Teilstücken.
Das WINDOW-Fenster wurde abschließend noch gleich in jeder Achse skaliert (Zoom Sqr),
wobei der Parameterbereich dem y - Intervall entspicht:
(Der Hinweis auf die zuletzt beschriebene Parameterdarstellung stammt von dem Fernstudenten
L. Häckel (KT, Imm.-jahrgang 1998))
Ludwig Paditz,
16. November 1998